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|00000750| 49 3e 20 69 6e 20 6f 74 | 68 65 72 20 70 72 6f 62 |I> in ot|her prob|
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|00000930| 49 3e 3c 53 55 50 3e 32 | 3c 2f 53 55 50 3e 20 2d |I><SUP>2|</SUP> -|
|00000940| 20 3c 49 3e 78 3c 2f 49 | 3e 3c 53 55 50 3e 33 3c | <I>x</I|><SUP>3<|
|00000950| 2f 53 55 50 3e 2e 20 20 | 20 53 68 6f 77 20 74 68 |/SUP>.  | Show th|
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|00000ac0| 2b 20 31 20 3d 20 30 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 |+ 1 = 0$|. -->.<I|
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|00000b00| 30 2c 20 6a 75 73 74 20 | 64 65 72 69 76 65 64 20 |0, just |derived |
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|00000b40| 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 2f | 4f 4c 3e 0a 0a 3c 50 3e |</LI>.</|OL>..<P>|
|00000b50| 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c | 4c 49 3e 4f 6e 65 20 77 |.</LI>.<|LI>One w|
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|00000b80| 6f 20 63 6f 64 65 20 69 | 6e 20 79 6f 75 72 20 6f |o code i|n your o|
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|00000ba0| 6f 64 3a 0a 3c 50 52 45 | 3e 0a 66 5b 78 5f 5d 20 |od:.<PRE|>.f[x_] |
|00000bb0| 3a 3d 20 78 5e 33 20 2d | 20 33 78 5e 32 20 2b 20 |:= x^3 -| 3x^2 + |
|00000bc0| 31 0a 78 20 3d 20 30 2e | 35 0a 0a 78 20 3d 20 78 |1.x = 0.|5..x = x|
|00000bd0| 20 2d 20 66 5b 78 5d 2f | 66 27 5b 78 5d 0a 3c 2f | - f[x]/|f'[x].</|
|00000be0| 50 52 45 3e 0a 48 65 72 | 65 20 77 65 20 68 61 76 |PRE>.Her|e we hav|
|00000bf0| 65 20 64 65 66 69 6e 65 | 64 20 74 68 65 20 60 60 |e define|d the ``|
|00000c00| 63 6f 72 6b 20 62 61 6c | 6c 27 27 20 20 66 75 6e |cork bal|l''  fun|
|00000c10| 63 74 69 6f 6e 20 69 6e | 20 61 63 63 6f 72 64 61 |ction in| accorda|
|00000c20| 6e 63 65 20 77 69 74 68 | 20 20 73 79 6e 74 61 78 |nce with|  syntax|
|00000c30| 20 61 6e 64 20 64 65 66 | 69 6e 65 64 20 61 20 73 | and def|ined a s|
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|00000cc0| 66 20 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 20 28 3c 49 3e 78 |f <I>x</|I> (<I>x|
|00000cd0| 3c 2f 49 3e 3c 53 55 42 | 3e 6e 2b 31 3c 2f 53 55 |</I><SUB|>n+1</SU|
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|00000cf0| 66 72 6f 6d 20 74 68 65 | 20 60 60 6f 6c 64 27 27 |from the| ``old''|
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|00000d10| 3c 53 55 42 3e 6e 3c 2f | 53 55 42 3e 29 20 75 73 |<SUB>n</|SUB>) us|
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|00000d60| 68 69 73 29 2e 20 20 57 | 65 20 63 61 6e 20 74 68 |his).  W|e can th|
|00000d70| 65 6e 20 60 60 45 6e 74 | 65 72 27 27 20 74 68 65 |en ``Ent|er'' the|
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|00000da0| 74 6f 20 67 65 6e 65 72 | 61 74 65 20 61 20 73 65 |to gener|ate a se|
|00000db0| 71 75 65 6e 63 65 20 6f | 66 20 61 70 70 72 6f 78 |quence o|f approx|
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|000013e0| 38 7d 5d 0a 3c 2f 50 52 | 45 3e 0a 3c 50 52 45 3e |8}].</PR|E>.<PRE>|
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|00001490| 0a 3c 50 3e 0a 41 70 70 | 6c 79 20 74 68 69 73 20 |.<P>.App|ly this |
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|00001500| 2e 30 24 0a 20 2d 2d 3e | 0a 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |.0$. -->|.<I>x</I|
|00001510| 3e 3c 53 55 50 3e 35 3c | 2f 53 55 50 3e 20 2d 31 |><SUP>5<|/SUP> -1|
|00001520| 30 30 20 3d 20 30 3b 26 | 6e 62 73 70 3b 26 6e 62 |00 = 0;&|nbsp;&nb|
|00001530| 73 70 3b 26 6e 62 73 70 | 3b 26 6e 62 73 70 3b 3c |sp;&nbsp|;&nbsp;<|
|00001540| 49 3e 78 3c 2f 49 3e 3c | 53 55 42 3e 30 3c 2f 53 |I>x</I><|SUB>0</S|
|00001550| 55 42 3e 20 3d 20 35 2e | 30 20 28 69 2e 65 2e 20 |UB> = 5.|0 (i.e. |
|00001560| 66 69 6e 64 20 74 68 65 | 20 66 69 66 74 68 20 72 |find the| fifth r|
|00001570| 6f 6f 74 20 6f 66 20 31 | 30 30 29 0a 3c 2f 4c 49 |oot of 1|00).</LI|
|00001580| 3e 0a 3c 4c 49 3e 28 33 | 2e 39 2e 34 29 20 3c 21 |>.<LI>(3|.9.4) <!|
|00001590| 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a | 20 24 78 5e 7b 33 2f 32 |-- MATH.| $x^{3/2|
|000015a0| 7d 20 2d 20 31 30 20 3d | 20 30 3b 20 5c 71 75 61 |} - 10 =| 0; \qua|
|000015b0| 64 20 20 78 5f 30 20 3d | 20 32 2e 30 24 0a 20 2d |d  x_0 =| 2.0$. -|
|000015c0| 2d 3e 0a 3c 49 3e 78 3c | 2f 49 3e 3c 53 55 50 3e |->.<I>x<|/I><SUP>|
|000015d0| 33 2f 32 3c 2f 53 55 50 | 3e 20 2d 31 30 20 3d 20 |3/2</SUP|> -10 = |
|000015e0| 30 3b 26 6e 62 73 70 3b | 26 6e 62 73 70 3b 26 6e |0;&nbsp;|&nbsp;&n|
|000015f0| 62 73 70 3b 26 6e 62 73 | 70 3b 3c 49 3e 78 3c 2f |bsp;&nbs|p;<I>x</|
|00001600| 49 3e 3c 53 55 42 3e 30 | 3c 2f 53 55 42 3e 20 3d |I><SUB>0|</SUB> =|
|00001610| 20 32 2e 30 20 28 69 2e | 65 2e 20 63 6f 6d 70 75 | 2.0 (i.|e. compu|
|00001620| 74 65 20 31 30 3c 53 55 | 50 3e 32 2f 33 3c 2f 53 |te 10<SU|P>2/3</S|
|00001630| 55 50 3e 29 0a 3c 2f 4c | 49 3e 0a 3c 4c 49 3e 3c |UP>).</L|I>.<LI><|
|00001640| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 24 78 5e 7b 31 2f |!-- MATH|. $x^{1/|
|00001650| 33 7d 20 2d 20 31 3b 20 | 5c 71 75 61 64 20 78 5f |3} - 1; |\quad x_|
|00001660| 30 20 3d 20 32 2e 30 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 |0 = 2.0$|. -->.<I|
|00001670| 3e 78 3c 2f 49 3e 3c 53 | 55 50 3e 31 2f 33 3c 2f |>x</I><S|UP>1/3</|
|00001680| 53 55 50 3e 20 2d 31 3b | 26 6e 62 73 70 3b 26 6e |SUP> -1;|&nbsp;&n|
|00001690| 62 73 70 3b 26 6e 62 73 | 70 3b 26 6e 62 73 70 3b |bsp;&nbs|p;&nbsp;|
|000016a0| 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e | 3c 53 55 42 3e 30 3c 2f |<I>x</I>|<SUB>0</|
|000016b0| 53 55 42 3e 20 3d 20 32 | 2e 30 20 28 69 2e 65 2e |SUB> = 2|.0 (i.e.|
|000016c0| 20 63 6f 6d 70 75 74 65 | 20 31 3c 53 55 50 3e 33 | compute| 1<SUP>3|
|000016d0| 3c 2f 53 55 50 3e 20 74 | 68 65 20 68 61 72 64 20 |</SUP> t|he hard |
|000016e0| 77 61 79 29 0a 3c 2f 4c | 49 3e 0a 3c 4c 49 3e 3c |way).</L|I>.<LI><|
|000016f0| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 24 78 5e 7b 31 2f |!-- MATH|. $x^{1/|
|00001700| 33 7d 20 2d 20 31 3b 20 | 5c 71 75 61 64 20 78 5f |3} - 1; |\quad x_|
|00001710| 30 20 3d 20 35 2e 30 24 | 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 |0 = 5.0$|. -->.<I|
|00001720| 3e 78 3c 2f 49 3e 3c 53 | 55 50 3e 31 2f 33 3c 2f |>x</I><S|UP>1/3</|
|00001730| 53 55 50 3e 20 2d 31 3b | 26 6e 62 73 70 3b 26 6e |SUP> -1;|&nbsp;&n|
|00001740| 62 73 70 3b 26 6e 62 73 | 70 3b 26 6e 62 73 70 3b |bsp;&nbs|p;&nbsp;|
|00001750| 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e | 3c 53 55 42 3e 30 3c 2f |<I>x</I>|<SUB>0</|
|00001760| 53 55 42 3e 20 3d 20 35 | 2e 30 0a 3c 2f 4c 49 3e |SUB> = 5|.0.</LI>|
|00001770| 0a 3c 4c 49 3e 45 78 70 | 6c 61 69 6e 20 77 68 79 |.<LI>Exp|lain why|
|00001780| 20 74 68 65 20 6f 75 74 | 70 75 74 20 69 6e 20 74 | the out|put in t|
|00001790| 68 65 20 6c 61 73 74 20 | 74 77 6f 20 65 78 61 6d |he last |two exam|
|000017a0| 70 6c 65 73 20 64 69 66 | 66 65 72 2e 0a 09 0a 3c |ples dif|fer....<|
|000017b0| 2f 4c 49 3e 0a 3c 2f 4f | 4c 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a |/LI>.</O|L>..<P>.|
|000017c0| 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c | 49 3e 54 68 65 72 65 20 |</LI>.<L|I>There |
|000017d0| 61 72 65 20 73 65 76 65 | 72 61 6c 20 65 71 75 61 |are seve|ral equa|
|000017e0| 74 69 6f 6e 20 73 6f 6c | 76 65 72 73 20 64 69 72 |tion sol|vers dir|
|000017f0| 65 63 74 6c 79 20 62 75 | 69 6c 74 20 69 6e 20 74 |ectly bu|ilt in t|
|00001800| 6f 20 26 6d 64 61 73 68 | 3b 62 65 20 61 77 61 72 |o &mdash|;be awar|
|00001810| 65 20 74 68 61 74 20 4e | 65 77 74 6f 6e 27 73 20 |e that N|ewton's |
|00001820| 6d 65 74 68 6f 64 20 69 | 73 20 61 20 6b 65 79 20 |method i|s a key |
|00001830| 65 6c 65 6d 65 6e 74 20 | 69 6e 20 74 68 65 69 72 |element |in their|
|00001840| 20 63 6f 6e 73 74 72 75 | 63 74 69 6f 6e 21 20 20 | constru|ction!  |
|00001850| 48 6f 77 65 76 65 72 2c | 20 6f 74 68 65 72 20 63 |However,| other c|
|00001860| 6f 6e 73 69 64 65 72 61 | 74 69 6f 6e 73 20 61 72 |onsidera|tions ar|
|00001870| 65 20 61 6c 73 6f 20 6e | 65 65 64 65 64 20 69 6e |e also n|eeded in|
|00001880| 20 73 75 63 68 20 70 72 | 6f 66 65 73 73 69 6f 6e | such pr|ofession|
|00001890| 61 6c 20 70 61 63 6b 61 | 67 65 73 20 74 6f 20 64 |al packa|ges to d|
|000018a0| 65 61 6c 20 77 69 74 68 | 20 70 6f 74 65 6e 74 69 |eal with| potenti|
|000018b0| 61 6c 20 60 60 64 69 76 | 65 72 67 65 6e 74 27 27 |al ``div|ergent''|
|000018c0| 20 62 65 68 61 76 69 6f | 72 20 61 73 20 6f 63 63 | behavio|r as occ|
|000018d0| 75 72 65 64 20 69 6e 20 | 74 68 65 20 6c 61 73 74 |ured in |the last|
|000018e0| 20 65 78 61 6d 70 6c 65 | 2e 20 20 20 50 6f 6c 79 | example|.   Poly|
|000018f0| 6e 6f 6d 69 61 6c 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 73 |nomial e|quations|
|00001900| 20 61 72 65 20 6d 61 72 | 6b 65 64 6c 79 20 73 69 | are mar|kedly si|
|00001910| 6d 70 6c 65 72 20 74 68 | 61 6e 20 74 68 65 20 67 |mpler th|an the g|
|00001920| 65 6e 65 72 61 6c 20 63 | 61 73 65 20 61 6e 64 20 |eneral c|ase and |
|00001930| 53 6f 6c 76 65 20 61 6e | 64 20 4e 53 6f 6c 76 65 |Solve an|d NSolve|
|00001940| 20 64 65 61 6c 20 77 69 | 74 68 20 74 68 65 73 65 | deal wi|th these|
|00001950| 20 61 6e 64 20 77 69 74 | 68 20 73 6f 6d 65 20 65 | and wit|h some e|
|00001960| 71 75 61 74 69 6f 6e 73 | 20 74 68 61 74 20 63 61 |quations| that ca|
|00001970| 6e 20 62 65 20 72 65 64 | 75 63 65 64 20 74 6f 20 |n be red|uced to |
|00001980| 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 | 61 6c 73 20 62 79 20 61 |polynomi|als by a|
|00001990| 6c 67 65 62 72 61 69 63 | 20 6d 61 6e 69 70 75 6c |lgebraic| manipul|
|000019a0| 61 74 69 6f 6e 73 20 28 | 65 2e 67 2e 20 62 79 20 |ations (|e.g. by |
|000019b0| 73 71 75 61 72 69 6e 67 | 29 2e 20 20 20 53 6f 6c |squaring|).   Sol|
|000019c0| 76 65 20 61 74 74 65 6d | 70 74 73 20 74 6f 20 67 |ve attem|pts to g|
|000019d0| 69 76 65 20 65 78 61 63 | 74 20 73 6f 6c 75 74 69 |ive exac|t soluti|
|000019e0| 6f 6e 73 2c 20 77 68 69 | 6c 65 20 4e 53 6f 6c 76 |ons, whi|le NSolv|
|000019f0| 65 20 67 69 76 65 73 20 | 6f 6e 6c 79 20 6e 75 6d |e gives |only num|
|00001a00| 65 72 69 63 61 6c 20 73 | 6f 6c 75 74 69 6f 6e 73 |erical s|olutions|
|00001a10| 2e 20 20 41 73 20 69 6d | 70 6c 69 65 64 2c 20 53 |.  As im|plied, S|
|00001a20| 6f 6c 76 65 20 63 61 6e | 6e 6f 74 20 65 78 61 63 |olve can|not exac|
|00001a30| 74 6c 79 20 73 6f 6c 76 | 65 20 61 6c 6c 20 70 6f |tly solv|e all po|
|00001a40| 6c 79 6e 6f 6d 69 61 6c | 20 65 71 75 61 74 69 6f |lynomial| equatio|
|00001a50| 6e 73 20 28 74 68 65 72 | 65 20 69 73 20 6e 6f 20 |ns (ther|e is no |
|00001a60| 6d 61 74 68 65 6d 61 74 | 69 63 61 6c 20 6d 65 74 |mathemat|ical met|
|00001a70| 68 6f 64 20 74 6f 20 64 | 6f 20 74 68 69 73 20 66 |hod to d|o this f|
|00001a80| 6f 72 20 65 71 75 61 74 | 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 |or equat|ions of |
|00001a90| 64 65 67 72 65 65 20 35 | 20 61 6e 64 20 68 69 67 |degree 5| and hig|
|00001aa0| 68 65 72 29 2e 20 20 20 | 48 6f 77 65 76 65 72 2c |her).   |However,|
|00001ab0| 20 53 6f 6c 76 65 20 63 | 61 6e 20 73 6f 6d 65 74 | Solve c|an somet|
|00001ac0| 69 6d 65 73 20 68 61 6e | 64 6c 65 20 65 71 75 61 |imes han|dle equa|
|00001ad0| 74 69 6f 6e 73 20 77 69 | 74 68 20 70 61 72 61 6d |tions wi|th param|
|00001ae0| 65 74 65 72 73 2e 0a 0a | 3c 50 3e 0a 46 69 72 73 |eters...|<P>.Firs|
|00001af0| 74 20 61 20 63 75 62 69 | 63 20 77 69 74 68 20 61 |t a cubi|c with a|
|00001b00| 20 70 61 72 61 6d 65 74 | 65 72 26 6d 64 61 73 68 | paramet|er&mdash|
|00001b10| 3b 53 6f 6c 76 65 20 69 | 73 20 6f 75 72 20 6f 6e |;Solve i|s our on|
|00001b20| 6c 79 20 63 68 61 6e 63 | 65 3a 0a 3c 50 52 45 3e |ly chanc|e:.<PRE>|
|00001b30| 0a 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 20 3d 20 78 5e 33 20 |.equatio|n = x^3 |
|00001b40| 2d 20 32 61 20 78 5e 32 | 20 2d 20 34 20 78 20 2b |- 2a x^2| - 4 x +|
|00001b50| 20 38 61 20 3d 3d 20 30 | 3b 0a 73 6f 6c 75 74 69 | 8a == 0|;.soluti|
|00001b60| 6f 6e 73 20 3d 20 53 6f | 6c 76 65 5b 65 71 75 61 |ons = So|lve[equa|
|00001b70| 74 69 6f 6e 2c 20 78 5d | 0a 20 20 20 20 7b 7b 78 |tion, x]|.    {{x|
|00001b80| 20 2d 26 67 74 3b 20 32 | 20 61 7d 2c 20 7b 78 20 | -&gt; 2| a}, {x |
|00001b90| 2d 26 67 74 3b 20 32 7d | 2c 20 7b 78 20 2d 26 67 |-&gt; 2}|, {x -&g|
|00001ba0| 74 3b 20 2d 32 7d 7d 20 | 28 2a 20 74 68 65 20 73 |t; -2}} |(* the s|
|00001bb0| 6f 6c 75 74 69 6f 6e 73 | 20 77 72 69 74 74 65 6e |olutions| written|
|00001bc0| 20 61 73 20 72 75 6c 65 | 73 20 2a 29 0a 0a 65 71 | as rule|s *)..eq|
|00001bd0| 75 61 74 69 6f 6e 20 2f | 2e 20 73 6f 6c 75 74 69 |uation /|. soluti|
|00001be0| 6f 6e 73 20 20 20 20 20 | 28 2a 20 63 68 65 63 6b |ons     |(* check|
|00001bf0| 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | 6e 73 20 62 79 20 73 75 | solutio|ns by su|
|00001c00| 62 73 74 69 74 75 74 69 | 6e 67 20 62 61 63 6b 20 |bstituti|ng back |
|00001c10| 2a 29 0a 20 20 20 7b 54 | 72 75 65 2c 20 54 72 75 |*).   {T|rue, Tru|
|00001c20| 65 2c 20 54 72 75 65 7d | 20 20 20 20 28 2a 20 61 |e, True}|    (* a|
|00001c30| 6c 6c 20 33 20 63 68 65 | 63 6b 20 65 78 61 63 74 |ll 3 che|ck exact|
|00001c40| 6c 79 20 2a 29 0a 3c 2f | 50 52 45 3e 0a 53 6f 6c |ly *).</|PRE>.Sol|
|00001c50| 76 65 20 77 6f 72 6b 73 | 20 6f 6b 20 68 65 72 65 |ve works| ok here|
|00001c60| 2c 20 62 65 63 61 75 73 | 65 20 74 68 65 20 65 71 |, becaus|e the eq|
|00001c70| 75 61 74 69 6f 6e 20 77 | 61 73 20 73 70 65 63 69 |uation w|as speci|
|00001c80| 61 6c 20 28 61 6e 20 61 | 6e 73 77 65 72 20 74 68 |al (an a|nswer th|
|00001c90| 61 74 20 69 73 20 31 37 | 20 70 61 67 65 73 20 6c |at is 17| pages l|
|00001ca0| 6f 6e 67 20 69 73 6e 27 | 74 20 6f 66 20 6d 75 63 |ong isn'|t of muc|
|00001cb0| 68 20 75 73 65 20 61 6e | 64 20 74 68 61 74 20 63 |h use an|d that c|
|00001cc0| 61 6e 20 65 61 73 69 6c | 79 20 68 61 70 70 65 6e |an easil|y happen|
|00001cd0| 20 77 69 74 68 20 61 6e | 20 61 72 62 69 74 72 61 | with an| arbitra|
|00001ce0| 72 79 20 63 75 62 69 63 | 29 2e 20 20 20 48 65 72 |ry cubic|).   Her|
|00001cf0| 65 20 69 73 20 61 20 71 | 75 61 64 72 61 74 69 63 |e is a q|uadratic|
|00001d00| 20 66 6f 72 20 77 68 69 | 63 68 20 77 65 20 67 65 | for whi|ch we ge|
|00001d10| 74 20 65 78 61 63 74 20 | 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e |t exact |solution|
|00001d20| 73 20 77 69 74 68 20 53 | 6f 6c 76 65 3a 0a 3c 50 |s with S|olve:.<P|
|00001d30| 52 45 3e 0a 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 20 3d 20 78 |RE>.equa|tion = x|
|00001d40| 5e 32 20 2d 20 33 78 20 | 2b 20 34 20 3d 3d 20 30 |^2 - 3x |+ 4 == 0|
|00001d50| 3b 0a 53 6f 6c 76 65 5b | 65 71 75 61 74 69 6f 6e |;.Solve[|equation|
|00001d60| 2c 20 78 5d 0a 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |, x].   |        |
|00001d70| 33 20 2b 20 49 20 53 71 | 72 74 5b 37 5d 20 20 20 |3 + I Sq|rt[7]   |
|00001d80| 20 20 20 20 20 20 33 20 | 2d 20 49 20 53 71 72 74 |      3 |- I Sqrt|
|00001d90| 5b 37 5d 0a 20 20 20 20 | 7b 7b 78 20 2d 26 67 74 |[7].    |{{x -&gt|
|00001da0| 3b 20 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 7d |; ------|-------}|
|00001db0| 2c 20 7b 78 20 2d 26 67 | 74 3b 20 2d 2d 2d 2d 2d |, {x -&g|t; -----|
|00001dc0| 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d 2d | 7d 7d 0a 20 20 20 20 20 |--------|}}.     |
|00001dd0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 32 20 20 20 20 20 |        |  2     |
|00001de0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00001df0| 32 0a 3c 2f 50 52 45 3e | 0a 49 66 20 77 65 20 6f |2.</PRE>|.If we o|
|00001e00| 6e 6c 79 20 77 61 6e 74 | 20 6e 75 6d 65 72 69 63 |nly want| numeric|
|00001e10| 61 6c 20 61 70 70 72 6f | 78 69 6d 61 74 69 6f 6e |al appro|ximation|
|00001e20| 73 2c 20 69 74 20 69 73 | 20 6d 6f 72 65 20 65 66 |s, it is| more ef|
|00001e30| 66 69 63 69 65 6e 74 20 | 74 6f 20 75 73 65 20 4e |ficient |to use N|
|00001e40| 53 6f 6c 76 65 3a 0a 3c | 50 52 45 3e 0a 65 71 75 |Solve:.<|PRE>.equ|
|00001e50| 61 74 69 6f 6e 20 3d 20 | 78 5e 32 20 2d 20 33 78 |ation = |x^2 - 3x|
|00001e60| 20 2b 20 34 20 3d 3d 20 | 30 3b 0a 4e 53 6f 6c 76 | + 4 == |0;.NSolv|
|00001e70| 65 5b 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 2c 20 78 5d 0a 20 |e[equati|on, x]. |
|00001e80| 20 20 20 7b 7b 78 20 2d | 26 67 74 3b 20 31 2e 35 |   {{x -|&gt; 1.5|
|00001e90| 20 2d 20 31 2e 33 32 32 | 38 37 35 36 35 35 35 33 | - 1.322|87565553|
|00001ea0| 32 33 20 49 7d 2c 20 0a | 20 20 20 20 20 20 7b 78 |23 I}, .|      {x|
|00001eb0| 20 2d 26 67 74 3b 20 31 | 2e 35 20 2b 20 31 2e 33 | -&gt; 1|.5 + 1.3|
|00001ec0| 32 32 38 37 35 36 35 35 | 35 33 32 33 20 49 7d 7d |22875655|5323 I}}|
|00001ed0| 0a 3c 2f 50 52 45 3e 0a | 0a 3c 50 3e 0a 55 73 65 |.</PRE>.|.<P>.Use|
|00001ee0| 20 4e 53 6f 6c 76 65 20 | 74 6f 20 67 65 74 20 61 | NSolve |to get a|
|00001ef0| 6c 6c 20 74 68 72 65 65 | 20 72 6f 6f 74 73 20 6f |ll three| roots o|
|00001f00| 66 20 74 68 65 20 60 60 | 63 6f 72 6b 20 62 61 6c |f the ``|cork bal|
|00001f10| 6c 27 27 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 2e 0a 0a 3c |l'' equa|tion...<|
|00001f20| 50 3e 0a 0a 3c 44 49 56 | 20 63 6c 61 73 73 3d 22 |P>..<DIV| class="|
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|00001f50| 3c 43 41 50 54 49 4f 4e | 20 63 6c 61 73 73 3d 22 |<CAPTION| class="|
|00001f60| 42 4f 54 54 4f 4d 22 3e | 3c 53 54 52 4f 4e 47 3e |BOTTOM">|<STRONG>|
|00001f70| 46 69 67 75 72 65 3a 3c | 2f 53 54 52 4f 4e 47 3e |Figure:<|/STRONG>|
|00001f80| 0a 44 69 61 67 72 61 6d | 20 66 6f 72 20 50 72 6f |.Diagram| for Pro|
|00001f90| 62 6c 65 6d 20 35 2e 3c | 2f 43 41 50 54 49 4f 4e |blem 5.<|/CAPTION|
|00001fa0| 3e 0a 3c 54 52 3e 3c 54 | 44 3e 3c 49 4d 47 0a 20 |>.<TR><T|D><IMG. |
|00001fb0| 53 54 59 4c 45 3d 22 68 | 65 69 67 68 74 3a 20 33 |STYLE="h|eight: 3|
|00001fc0| 31 34 2e 30 30 65 78 3b | 20 22 20 53 52 43 3d 22 |14.00ex;| " SRC="|
|00001fd0| 69 6d 67 34 2e 70 6e 67 | 22 0a 20 41 4c 54 3d 22 |img4.png|". ALT="|
|00001fe0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 66 | 69 67 75 72 65 7d 0a 5c |\begin{f|igure}.\|
|00001ff0| 65 70 73 66 79 73 69 7a | 65 20 31 30 30 70 74 0a |epsfysiz|e 100pt.|
|00002000| 5c 63 65 6e 74 65 72 6c | 69 6e 65 7b 5c 65 70 73 |\centerl|ine{\eps|
|00002010| 66 66 69 6c 65 7b 77 73 | 31 30 70 35 2e 65 70 73 |ffile{ws|10p5.eps|
|00002020| 7d 7d 0a 5c 65 6e 64 7b | 66 69 67 75 72 65 7d 22 |}}.\end{|figure}"|
|00002030| 3e 3c 2f 54 44 3e 3c 2f | 54 52 3e 0a 3c 2f 54 41 |></TD></|TR>.</TA|
|00002040| 42 4c 45 3e 0a 3c 2f 44 | 49 56 3e 0a 0a 3c 50 3e |BLE>.</D|IV>..<P>|
|00002050| 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c | 4c 49 3e 41 20 31 30 30 |.</LI>.<|LI>A 100|
|00002060| 2d 66 74 20 74 72 65 65 | 20 73 74 61 6e 64 73 20 |-ft tree| stands |
|00002070| 32 30 20 66 65 65 74 20 | 66 72 6f 6d 20 61 20 31 |20 feet |from a 1|
|00002080| 30 2d 66 74 20 66 65 6e | 63 65 2e 20 20 54 68 65 |0-ft fen|ce.  The|
|00002090| 6e 20 74 68 65 20 74 72 | 65 65 20 69 73 20 60 60 |n the tr|ee is ``|
|000020a0| 62 72 6f 6b 65 6e 27 27 | 20 61 74 20 61 20 68 65 |broken''| at a he|
|000020b0| 69 67 68 74 20 6f 66 20 | 78 20 66 65 65 74 2c 20 |ight of |x feet, |
|000020c0| 73 6f 20 74 68 61 74 20 | 69 74 20 6a 75 73 74 20 |so that |it just |
|000020d0| 67 72 61 7a 65 73 20 74 | 68 65 20 74 6f 70 20 6f |grazes t|he top o|
|000020e0| 66 20 74 68 65 20 66 65 | 6e 63 65 20 61 6e 64 20 |f the fe|nce and |
|000020f0| 74 6f 75 63 68 65 73 20 | 74 68 65 20 67 72 6f 75 |touches |the grou|
|00002100| 6e 64 20 6f 6e 20 74 68 | 65 20 6f 74 68 65 72 20 |nd on th|e other |
|00002110| 73 69 64 65 20 6f 66 20 | 74 68 65 20 66 65 6e 63 |side of |the fenc|
|00002120| 65 20 77 69 74 68 20 69 | 74 73 20 74 69 70 20 28 |e with i|ts tip (|
|00002130| 73 65 65 20 46 69 67 75 | 72 65 20 35 29 2e 20 0a |see Figu|re 5). .|
|00002140| 09 0a 3c 4f 4c 3e 0a 3c | 4c 49 3e 44 65 72 69 76 |..<OL>.<|LI>Deriv|
|00002150| 65 20 74 68 65 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 20 3c |e the eq|uation <|
|00002160| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 24 78 5e 33 20 2d |!-- MATH|. $x^3 -|
|00002170| 20 36 38 78 5e 32 20 2b | 20 31 31 30 30 78 20 2d | 68x^2 +| 1100x -|
|00002180| 20 35 30 30 30 20 3d 20 | 30 24 0a 20 2d 2d 3e 0a | 5000 = |0$. -->.|
|00002190| 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e | 3c 53 55 50 3e 33 3c 2f |<I>x</I>|<SUP>3</|
|000021a0| 53 55 50 3e 20 2d 36 38 | 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e |SUP> -68|<I>x</I>|
|000021b0| 3c 53 55 50 3e 32 3c 2f | 53 55 50 3e 20 2b 20 31 |<SUP>2</|SUP> + 1|
|000021c0| 31 30 30 3c 49 3e 78 3c | 2f 49 3e 20 2d 20 35 30 |100<I>x<|/I> - 50|
|000021d0| 30 30 20 3d 20 30 20 66 | 6f 72 20 3c 49 3e 78 3c |00 = 0 f|or <I>x<|
|000021e0| 2f 49 3e 2e 0a 3c 2f 4c | 49 3e 0a 3c 4c 49 3e 53 |/I>..</L|I>.<LI>S|
|000021f0| 6f 6c 76 65 20 74 68 69 | 73 20 65 71 75 61 74 69 |olve thi|s equati|
|00002200| 6f 6e 20 75 73 69 6e 67 | 20 4e 53 6f 6c 76 65 20 |on using| NSolve |
|00002210| 61 6e 64 20 64 65 63 69 | 64 65 20 77 68 69 63 68 |and deci|de which|
|00002220| 20 72 6f 6f 74 73 20 6d | 61 6b 65 20 70 68 79 73 | roots m|ake phys|
|00002230| 69 63 61 6c 20 73 65 6e | 73 65 2e 0a 09 0a 3c 2f |ical sen|se....</|
|00002240| 4c 49 3e 0a 3c 2f 4f 4c | 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c |LI>.</OL|>..<P>.<|
|00002250| 2f 4c 49 3e 0a 3c 4c 49 | 3e 4e 53 6f 6c 76 65 20 |/LI>.<LI|>NSolve |
|00002260| 77 6f 6e 27 74 20 77 6f | 72 6b 20 20 6f 6e 20 6d |won't wo|rk  on m|
|00002270| 6f 73 74 20 6e 6f 6e 2d | 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 |ost non-|polynomi|
|00002280| 61 6c 20 65 71 75 61 74 | 69 6f 6e 73 2c 20 66 6f |al equat|ions, fo|
|00002290| 72 20 65 78 61 6d 70 6c | 65 2c 20 69 74 20 66 61 |r exampl|e, it fa|
|000022a0| 69 6c 73 20 6f 6e 20 6f | 75 72 20 6f 6c 64 20 66 |ils on o|ur old f|
|000022b0| 72 69 65 6e 64 20 74 68 | 65 20 60 60 61 73 74 65 |riend th|e ``aste|
|000022c0| 72 6f 69 64 27 27 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 3a |roid'' e|quation:|
|000022d0| 0a 3c 50 52 45 3e 0a 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 20 |.<PRE>.e|quation |
|000022e0| 3d 20 43 6f 73 5b 31 30 | 30 30 2f 72 5d 20 3d 3d |= Cos[10|00/r] ==|
|000022f0| 20 72 2f 28 72 20 2b 20 | 31 30 29 3b 0a 4e 53 6f | r/(r + |10);.NSo|
|00002300| 6c 76 65 5b 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 2c 20 72 5d |lve[equa|tion, r]|
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